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有理数在实数上的稠密性 无理数的定义

中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」来源: 2020-02-14 16:21数学 571 ℃
无理数的定义

微论文 有理数在实数上的稠密性 姓 名: 尹 明 富 院 系: 数学科学学院 年级专业:13级数学与应用数学 电 话: 15086593490 学 号: 20152042201 指导教师: 张 裕 波 2015年 11月

有理数在实数上的稠密性 摘 要 稠密是相对的概念,有理数相对实数稠密,有理数相对无理数稠密,甚至,无理数相对有理数也稠密,实数相对有理数也稠密.如果说在有理数上稠密,那就只能说明有理数属于实数,所以才这么说. 关键词 有理数集; 稠密集;实数 1.有理数全体是稠密集 1.1有理数稠密性的相关定义 定义1:设A,B是直线上的两个点集,如果B中每个点的任何邻域中必有A的点(或B中的任何开区间中必有A的点),那么称A在B中稠密.当B是全直线时,即A在全直线上处处稠密时,那么称A是稠密集. 定义1:设S是直线上的点集.若任何开区间(a,b)中存在开区间( ′, ′)(a,b),且在( ′, ′)中没有S的点,则称S是疏朗集或称无处稠密集. 定义2:设 , ,…, ,…都是有理数.假如对于任意的正有理数ε,有正整数N,使当n,m>N时,不等式| - |<ε成立,就称 是基本有理数列,并称基本有理数列是一个实数. 定理1有理数集是稠密集在此意义上讲,任意两个不同的有理数之间存在无数多个有理数。也就是有理数在实数中是处处稠密的,就

是任何两个实数之间必有有理数.换句话说,设a,b是任意两个实数,且a<b,则必有有理数c,使得a<c<b。 1.2有理数在实数里存在稠密性 给定空间 X 及其子集 A ,如果对于 X 中任一点 x,x 的任一邻域同 A 的交集不为空,则 A 称为在 X 中稠密。一般而言,不谈论某集合本身是否稠密这个问题,而是讨论某集合是否在另一集合中是否稠密. 有理数是实数的真子集,实数有稠密性,显然有理数在实数中也存在稠密性。 事实上, 且 显然 与 平均数且在a与b之间,同样a与 就是有理数,,b与 的平均数也在a到b之间。显然,这样构成平均数的方法可无限次的做下去,于是,a与b之间存在无限多个有理数,即有理数集具有稠密性。 我们也可设 a= (基本有理数列) b= (基本有理数列), 由 < ,必有正有理数δ和正整数N, 使得当n 时 有 又因为 及 是基本有理数列,必有 使得当 时,有 , 不妨设

这是有理数,且当m 时,有 也即 又当m 时 有 也即 综上可知, 即 有理数集的上述两个性质,意味着处处稠密的有理数和无处稠密(或疏朗)的正整数“一样多”,这个表面看来令人难以置信的事实,充分说明了要判断数学题的真伪,仅凭直觉是靠不住的. 在数学各领域中,许多问题的解决或理论的推导都要借助于有理数集的这两个性质。 [1]夏道行,吴卓人,严绍宗,等.实变函数论与泛函分析:上册[M].北京:人民教育出版社,1979:56 [2]饶明贵.几个不等式的应用[J].河南科学,2008,26(8):899 .

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